Seguimos con nuestros parenthesis: con la ecuación cuadrática y su solución. Estamos viendo ecuaciones cuadráticas que no merecen la fórmula general. Entonces, si se acuerdan, me gustarÃa retomar las cosas. you tenemos aquà nuestra imagen. Esto es una imagen, en nuestra cabeza, de lo que es una ecuación cuadrática, y lo que es la fórmula general. La que es la buena, y que sin embargo, yo les estoy insistiendo ahorita. Habrá veces en que ésa, que es tan buena, como quiera no vale la pena usarla. ¿Por qué? Porque puede ser que tenga ecuaciones como la que tengo ahorita en la hoja, en donde aparecen solamente dos términos. En este caso hicimos una factorización. Hicimos una igualación con cero de cada uno de los términos. Y asà la resolvimos. Y en el otro caso, tuvimos estos dos términos también, nada más que ahora no estaba la x. Y en ese caso fue un simple despeje, que nos llevó a resolver la ecuación. Realmente, si empiezo a utilizar you, digamos, letras, en lugar de los números, lo cual no deja de ser también un poco complicado, eh, lo que está pasando es que yo les estoy mostrando ecuaciones cuadráticas que tienen esta forma. O sea, estoy haciendo que la letra c valga 0. Okay? O el otro caso que les puse es algo asÃ: ¿no? ax cuadrada más c igual a 0. O sea que la letra b sea igual a 0. En estos dos casos, o sea otra vez me traigo mi fórmula general aquÃ. O sea, estoy haciendo o que la c valga 0, que serÃa este caso; o que la b valga 0, que serÃa el caso que tenemos acá. Entonces, esos son los casos en donde yo les digo: no vale la pena traerse la fórmula general. Me gustarÃa ahorita tomar un caso más, bueno no, un ejemplo dirÃamos de este caso, el que tenemos aquÃ, para que vean cómo van a surgir los números imaginarios, ¿sÃ? Entonces, voy a poner una ecuación de este estilo, pero la más simple de todas. Yo creo que si les pusiera a ustedes a pensar en la más simple de éstas, pues dirÃan, bueno, a lo mejor piensen en el cero, pero yo preferirÃa que pensaran en el número 1. Pónganle un 1; que la a valga 1, y que la c valga 1. Y entonces, ¿qué nos queda? x cuadrada más 1 igual a 0 , ¿no? Okay? O sea, ese 1 que va aquÃ, detrás de x cuadrada, ni se escribe, ¿no? Y entonces nos queda la expresión asÃ. Y para resolverla, nada de la fórmula general; simplemente yo despejo, y me queda x cuadrada es igual a menos 1. Y cuando saco raÃz, aquà me quedarÃa: x es igual a más menos raÃz de menos 1. Y en este momento nos tenemos que detener, ¿no? ¿Por qué? Porque estarÃamos hablando de la raÃz del número menos 1. ¿Qué quiere decir: hablar de la raÃz del número menos 1? A lo mejor podrÃa ser conveniente que en su cabeza estén ustedes pensando, por ejemplo, qué pasa cuando hablo de la raÃz de 4, ¿no? Cuando yo digo raÃz de 4, estoy pensando en el 2, ¿a poco no? ¿SÃ? ¿Y por que pienso en el 2? Porque 2 por 2 dan 4. Okay? Pero también puede ser, o sea, cuando ponemos este más menos aquÃ, ¿no? que pensemos en el número menos 2, porque menos 2 al cuadrado da también 4, ¿no? Por eso es que les digo de esta precaución de poner el más menos (±) . Entonces, ahorita las soluciones fueron más menos 2. Okay? Y ambos números, el 2 y el menos 2, al cuadrado dan 4. Si aplicamos esto a esto; radical de menos 1, y estamos pensando: ¿qué es esto de más menos raÃz de menos 1? O sea, la respuesta que pongamos aquà tendrÃa que ser un número que elevado al cuadrado me dé menos 1. Pero, ¿cómo voy a hacer que un número elevado al cuadrado me dé menos 1? Si yo agarro un número positivo y lo elevo al cuadrado, me da positivo, no me va a dar menos 1, ¿no? Y si yo agarro un número negativo y lo elevo al cuadrado, me vuelve a dar positivo, no me va a dar menos 1. . O sea, esto es imposible en los números reales. O sea, en este momento uno tiene que aceptar que éste no es un número real. Okay? Y número real, cuando yo pienso en números reales - y espero que ustedes lo piensen también - nos estamos refiriendo a todos ésos que estaban en nuestra recta real. ¿Se acuerdan? O sea, ésos que son positivos, negativos, enteros, quebrados o sea, o números racionales, irracionales también, con expansión decimal finita, infinita, que puede ser periódica o puede ser no periódica, etc, etc, etc. O sea, de todo hay aquÃ. Bueno, pues en todos estos números que hay aquÃ, ninguno de ellos cumple con que su cuadrado sea igual a menos 1. En ese momento, en las matemáticas, la historia de las matemáticas dijo: hasta aquà llegamos, ¿no? O sea, realmente hay tropiezos ¿no? cuando se trabaja con estas cantidades. Y, bueno, en cierto momento, pues fueron rechazados; asà como fueron rechazados los negativos también, eh. Los números negativos también han sido rechazados. Y curiosamente, cuando uno piensa en nuestro intelecto, es también algo notorio cómo se batalla ¿no? para entender esta idea del número negativo. Igual, intelectualmente o cognitivamente se batalla con aceptar esta raÃz de número negativos. Pero todo en la matemática va haciendo ser, digamos, cotidiano, cuando you empieza a ser utilizado. Se sabe cómo utilizarlo, cómo manejarlo y demás. Entonces, llegó un momento en que estos números you fueron aceptados. Y se habla entonces en el campo de los, no, perdón, no, en el campo no, en el conjunto de los números vamos a ponerlo por aquÃ, números complejos. Okay? O también pueden llamarse números imaginarios; aunque a veces la palabra imaginario se restringe a los imaginarios puros, ¿no? Pero igual, en esto lo que yo quiero llamar su atención es sobre la aparición de estos números, como raÃz de menos 1. De hecho, ésta va a ser la unidad imaginaria. O sea, raÃz de menos 1 va a ser identificado con una letra, la letra i. Okay? ¡Qué curioso, no! También en la matemática, les digo que todo tiene que ver con nuestro lenguaje cotidiano, nuestra cultura y demás. Luego en matemáticas uno tiene que decir: ¿aquà qué significa? Si yo leo esta letra i, parece ser que estoy hablando de la tercera vocal, ¿no? Y sin embargo, ahorita ustedes tienen que aceptar que esa i yo les estoy forzando que acepten que la i es raÃz de menos 1. Okay? Y ahora hay que saber operar con él. O sea, con este número también, ¿no? De esta manera, por ejemplo, si yo les digo raÃz de menos 4, podrÃamos pensar que raÃz de menos 4 es raÃz de 4 por menos 1, ¿no? Y la raÃz de 4 por menos 1 es raÃz de 4 por raÃz de menos 1. Y entonces aquà tenemos al número 2i. Okay? Ése es otro número imaginario, imaginario puro, ¿no? Los números complejos you van a tener entonces una parte real y una parte imaginaria. Y entonces, su representación geométrica you no va poder ser en esta recta. Mucho se adelantó en la matemática cuando se aceptó poner aquà un eje, ¿no? asÃ, vertical y decir: aquà represento la unidad imaginaria, y aquà represento la unidad real. Y entonces, you puedo hablar, por ejemplo, de un número complejo, como por decir: 2 más i. 2 más i estarÃa representado en un 2 aquÃ, y en una unidad hacia arriba. Y aquà estarÃa el 2 más i, ¿no? Este punto, este lugar geométrico, estarÃa representando a ese número complejo. Y entonces se abre otro, digamos, potencial numérico cuando tengo aceptados a los números complejos. Ahorita, estos números complejos están apareciendo de la simple solución de una ecuación cuadrática tan sencilla como ésta, eh. ¿De acuerdo? Entonces, igual tendremos que aceptar su existencia; y tratar de interpretar las soluciones cuando sean asÃ, de este estilo, cuál serÃa la interpretación para el contexto real, o el problema particular que se está resolviendo, ¿no? Como lo hemos hecho, y lo seguiremos haciendo en este curso. Por lo pronto, ahorita lo que querÃa era mostrarles entonces una ecuación más, donde no vale la pena la fórmula general. Es un simple despeje. Y en esta ocasión, dado que puse una c positiva, no sucedió que apareciera la unidad imaginaria Si yo simplemente les pongo, voy a aprovechar este espacio aquÃ, ¿no? si les pongo la c negativa, puedo poner: x cuadrada menos 1, ¿sÃ? Vean como que lo único que hice fue darle a la c el valor negativo, ¿sÃ? menos 1. Este signo de más no dice que tenga que ser esto algo positivo, eh. Este signo de más dice: dale a la c el valor que tú quieras. Si yo le doy ahorita a la c el valor menos 1, pues me quedó: x cuadrada más menos 1. O sea, x cuadrada menos 1. Si yo resulevo esta ecuación; paso el 1 al otro lado; y me queda que x es más menos raÃz de 1. Y la raÃz de 1 es más menos 1. No me salà del conjunto de los números reales, ¿no? Pero vean cómo este simple cambio de signo aquÃ, you hizo las cosas bien, bien distintas desde el punto de vista matemático, ¿no? Entonces, con esto you tendrÃamos nosotros sabido que estos dos estilos, digamos, de ecuaciones cuadráticas no merecen la fórmula general. En ambos vale más la pena aquà factorizar una x, y acá simplemente despejar, ¿no? En este caso nunca van a salir los números negativos, de hecho. Porque siempre va a aparecer el factor x que nos va a dar una solución real. Y la otra solución tendrá que ser real porque necesariamente cuando aparecen raÃces imaginaries, aparecen por pares. Okay? Entonces, si aquà you la x es igual a 0 es solución, la otra no va a poder ser imaginaria, va a tener que ser también real, ¿no? Y las raÃces imaginarias aparecieron en este caso cuando a la letra c le asignamos un valor positivo. Claro, que ahorita estoy asignando a la a el valor de 1, ¿no? PodrÃa jugar también con los signos dos negativos, y también me darÃa lugar a una raÃz imaginaria. Pero bueno, en este caso yo quisiera terminar con esta, con esta presentación, solamente haciendo una observación de algo que puediera haber sucedido con su aprendizaje en la solución de ecuaciones cuadráticas. Si me acompañan en esta hoja, yo les voy a inventar una cuadrática que tenga unas soluciones bien sencillas, bien bonitas, ¿no? Quiero que la solución sea x igual a 3, y que la otra solución sea x igual a menos 2. No está tan sencilla porque ahà le puse un negativo, pero nos vamos a atrever a dejar ese negativo ahÃ, ¿sÃ? Cuando quiero que la solución sea x igual a 3, entonces, éste es un factor, que al igualar a 0, me va a decir que la solución va a ser x es igual a 3. Y cuando quiero que x sea igual a menos 2 sea solución, entonces el factor x más 2, o sea, pasé éste a este lado con signo positivo, si tengo este factor, al igualar a 0 me va a dar la solución. ¿Se fijan? O sea, estoy actuando al revés. Quiero que éstas sean las soluciones. Propongo entonces esta factorización, y resuelvo, ¿no? Esto serÃa el producto de los binomios, de dos binomios. Multiplicamos x por esto, y x por esto. Nos queda: x por x, x cuadrada; x por 2, más 2x. Después multiplicamos el menos 3 por x, y el menos 3 por 2, que nos queda menos 3 por 2 menos 6, ¿no? igual a 0. Total, nos quedó: x cuadrada,si a 2x le quito 3x entonces me queda: menos x menos 6 igual con 0. Y entonces puedo empezar aquà el problema, y decir: Resuelve esta ecuación cuadrática. Y ustedes, bueno pues dirán, pues la solución es 3 y menos 2. Pues sÃ. Pues claro. Pues asà la inventamos, ¿no? Okay? Pero muchas veces, lo que pasa cuando queremos aprender álgebra es que proponemos cosas asà muy, digamos preparadas. Y esta ecuación cuadrática que está tan preparada, me dice entonces que haga una factorización. Y entonces es el método que se enseña en donde hacemos cosas asÃ. Y es un método tipo, dirÃamos: ensayo y error. Cuando decimos ensayo y error, quiere decir: toma un, ponle un valor, y a ver si le atinaste, ¿no? ¿No le atinaste? Toma otro, y a ver si le atinaste. Ese tipo de procedimietno, realmente ahorita yo no quisiera enfatizarlo. O sea, preferirÃa mejor el procedimietno matemático que resulta en general. O sea, les digo: esto puede resultar bien para esta ecuación tan bonita que preparamos, ¿no? pero no para cualquiera ecuación cuadrática. Para cualquier ecuación cuadrática que se me ocurra ahorita en mi cabeza; por ejemplo un 3x cuadrada menos 5x más 8 igual a 0; eso se me ocurrió. O sea, ésta a lo mejor no la voy a poder factorizar asÃ. Va a tener unas soluciones que sean imaginarias, o incluso pudieran ser irracionales. Y you, you no voy a poder decir: pues aquà le pongo x, y aquà le pongo x, y aquà le pongo un menos, y le pongo un 3, y aquà le pongo un más, y le pongo un 2. Para que este menos 3x más 2x me dé menos x, y este menos 3 por dos me dé el menos 6. No sé si me expliqué. O sea, yo quise aquà traer sobre la mesa este tipo de procedimiento algebraico que es muy común para resolver una ecuación cuadrática, ¿no? De aquà se pasa uno a que x menos 3 es igual a 0, x es igual a 3, y x más dos es igual a 0, y x es igual a menos 2. ¿De acuedo? Este procedimiento matemático, digamos, es aplicable en unos casos muy particulares, Okay? Y esos casos particulares, bueno, pues son los menos, ¿no? Yo quisiera decir, los casos realmente deben de ser más generales. Y en ese sentido, ahà sà digo: aquÃ, por favor, tráiganse su imagen. ¿Dónde está la imagen? Ésta que está aquÃ. Mi a vale 3. Mi b vale menos 5. Mi c vale 8. Vamos a ver qué tal la inventé. O sea, ¿cuál serÃa aquà nuestra solución? x es igual ¿qué harÃamos acá? el menos b ¿quién serÃa menos b? 5 más menos raÃz cuadrada de b cuadrada, que es menos 5 al cuadrado, menos cuatro por 3 por 8, sobre 2 por 3, ¿no? O sea, nos quedarÃa 5 más menos raÃz de 25, menos, pues you, fÃjense: este 4 por 3 son 12, por 8 igual dé lo que dé, 12 por ocho, you me voy a traer ahorita mi calculadorcita, pero you estoy viendo que esta cantidad que está aquà adentro es negativa, ¿no? Y si esto es negativo, entonces van a salir números imaginarios o complejos, ¿no? Y si van a salir números complejos, nunca van a ser solubles, digamos esta ecuación con este tipo de procedimiento. Entonces aquÃ, en este momento, aquà vamos a poner que recomiendo que la fórmula general no sea tu aleado, ¿no? Tengamos esta imagen presente en nuestras cabezas siempre. Y tratemos de evocar este proceso, ¿no? este proceso que está aquà expresado; en este procedimiento, para resolver una ecuación cuadrática. Ésta es la manera de despejar. Vean aquà un despeje. Le voy a poner asà entre comillas. Estoy despejando la x, para encontrar los valores que satisfacen esta ecuación. Okay? Entonces, con esta imagen yo los dejo ahora, en este paréntesis que hemos hecho de la ecuación cuadrática. Okay? Sabemos you, de todas todas de cómo resolver la cuadrática, la que nos pongan. Okay? Y yo los espero para que retomemos nuestro tema y podamos aplicar las soluciones de una ecuación cuadrática cuando esto sea necesario.
