Pues como dicen al mal paso darle prisa. Entonces vamos a hacer la segunda derivada, ojála y que ustedes you la traigan con ustedes. Yo se las voy a hacer como quiera, no los dejo solos en este procedimiento para nada y bueno, aprovecho para darle mis consejos ¿no?, sobre la buena manipulación de las expresiones simbólicas. Entonces voy a copiar esta función es uno menos x cuadrada entre x cuadrado más uno al cuadrado, o sea lo voy a copiar en la otra hoja. Esta es nuestra derivada, ¿se acuerdan? Entonces tenemos uno menos x cuadrada entre x cuadrada más uno al cuadrado y esta es nuestra derivada, ¿no? Vamos a ponerle así y andamos buscando derivarla a ella ¿no? Buscando su segunda derivada que nos dará información sobre la función original, ¿okay? Entonces vamos a hacer la expresión en el ejercicio, ¿no?, algebraico de derivar. ¿Qué vamos a hacer? . Vamos a tener que aplicar la regla del cociente aquí otra vez. No hay consejos que pueda yo dar. O sea la expresión está digamos lista, preparada para que uno entre con ganas a hacer la derivada, ¿okay? Entonces vamos a hacer la derivada. ¿Cómo vamos a hacerla con la regla del cociente? . Voy a ponerle con este color. Entonces vamos a sacar la segunda derivada. Esa segunda derivada empezaría con la regla del cociente, pondríamos el denominador por la derivada del numerador que es un menos dos x, menos el numerador por la derivada del denominador. Ahí si necesito regla de la cadena, ¿verdad? . Entonces sería dos por x cuadrada más uno a la uno, que you no voy a escribir, por dos x, ¿no? . Ahí fue la regla de la cadena. Y todo esto entre el denominador al cuadrado. Pero como estaba al cuadrado, nos va a quedar a la cuarta, ¿no? . Entonces en esta expresión lo que voy a hacer ahora es ordenarla un poquito. Aquí hay productos, este menos dos x mejor lo ponemos delante, menos dos x que multiplica a x cuadrada más uno al cuadrado. Después este negativo con este dos y este dos nos va a dar menos cuatro y esta x también, la ven, entonces vamos a poner menos cuatro x. O sea tomé este, y este y este y el negativo. Y luego nos quedaría también el término uno menos x cuadrada y el término x cuadrada más uno, ¿okay?, y todo esto entre x cuadrada más uno a la cuarta, ¿no? Y entonces ahora, ¿qué es lo que vamos a hacer de aquí a acá? Pues vamos a hacer lo que les he llamado ¿no?, la factorización. Vamos a factorizar ¿no? . Factorizamos. ¿Qué vamos a factorizar? Pues vamos a factorizar lo que es común. Aquí tengo este negativo y acá también. Pues yo digo sacamos el negativo de factor, ¿no? Aquí tengo un dos y aquí tengo un cuatro, podemos sacar un dos de factor. Aquí tengo x y acá también, pues sacamos la x también de factor. Aquí tengo x cuadrada más uno y acá también lo tengo, no al cuadrado pero lo tengo, pues también lo sacamos de factor. Y you, you se me acabaron los términos ¿no? Se fijan aquí la separación es justo en este lugar ¿no?, donde están los dos términos separados y ahí es en donde vamos a hacer la factorización. O sea aquí lo que están viendo aquí, es lo que les he dicho, es un a por b más a por c, que tenemos que ver como un a por b más c, ¿no? . Entonces vamos a sacar esa a, que son los factores que están en común. Y entonces nos quedaría aquí que, menos dos x por x cuadrada más uno que multiplica a, ¿qué pongo aquí para que al multiplicar me quede todo esto?, pues lo que le falta es el término x cuadrada más uno una vez, porque you lo tengo aquí una vez, con esta sería al cuadrado como lo tengo acá, ¿okay? . Y acá seria un más dos para que con este menos dos nos quede el menos cuatro. La x you la tenemos, y el x cuadrada más uno you la tenemos, o sea el único término que nos está faltando es el uno menos x cuadrada, ¿no?, ese es el único que nos está faltando. Y aquí bueno, las operaciones van a ser sencillas ¿no? Todo esto va a estar dividido entre x cuadrada más uno a la cuarta ¿sí? . Si les parece, esta expresión que tenemos aquí arribita, veámosla, ésta que está arribita o sea es una expresión simple, dice x cuadrada más uno más dos, porque multiplico este dos por uno, menos dos x cuadrada ¿no? Entonces si esto lo hacemos en nuestro pensamiento digamos, entonces you vamos a poder escribir la expresión ¿no?, más compacta. Nos va a quedar que, menos dos x por x cuadrada más uno por ¿cuánto?, por dos más una son tres, menos porque x cuadrada menos dos x cuadrada nos queda tres menos x cuadrada. Todo esto entre x cuadrada más uno a la cuarta y este término a la cuarta con este término que está aquí pues lo podemos dejar al cubo abajo ¿no? Osea podemos hacer una cancelación, ese término no es cero, acuérdense que cancelar cero entre cero es un peligro ¿no? Pero en este caso si se puede hacer porque x cuadrada más uno nunca va a ser cero. Es más, x cuadrada más uno siempre es más grande que incluso que el uno ¿no? Pues si, porque a un uno le estoy sumando algo positivo. Independientemente si la x es positiva o negativa, al elevarse al cuadrado es positivo. Entonces todo esto es más grande que uno. Entonces sin peligro de que esto sea cero, podemos hacer un, una cancelación aquí con uno de estos términos. Nos queda al cubo y entonces nuestra expresión más compacta todavía para l a segunda derivada, sería menos dos x por tres menos x cuadrada y todo esto entre x cuadrada más uno al cubo, ¿verdad?, x cuadrada más uno al cubo. Perfecto, you hemos sacado una segunda derivada y ¿para qué la queríamos? La queríamos porque cuando vimos nuestra gráfica de nuestra función original en Graphmática, vimos o sea que hay unos puntos de inflexión ¿no?, interesantes. Que hacen que esa curva tenga un aspecto que no nos había tocado y que no sale cuando se tienen funciones polinomiales, eh. Vamos a verlo y les voy a decir a qué me refiero. Entonces para eso me gustaría que, bueno nos pasemos ahora acá en la computadora donde tenemos la imagen donde nos quedamos con Graphmática. En esa imagen you teníamos aquí, es más, tengo aquí la imagen justo arriba ¿no?, de WolframAlpha donde hice también la derivada que para nosotros es la segunda derivada, eh. La segunda derivada de la función original. La función original, ahí la tienen. Afortunadamente en Graphmática donde estamos, donde está tecleada la función original. Y entonces ahorita podemos comprobar, si volteamos acá, yo volteo acá y digo si. Osea no hay mucha diferencia entre nuestra respuesta y la de WolframAlpha. La única diferencia es, yo diría a favor de WolframAlpha ahora. ¿Por qué? Porque WolframAlpha no dejó el signo negativo que nosotros dejamos acá en el papel. O sea ese signo negativo ¿no?, que está en el menos dos yo lo metería dentro del tres menos x cuadrada que teníamos y entonces, nos va a quedar x cuadrada menos tres, como you se los he mostrado en otros ejemplos antes ¿no? Bueno, pero igual para no volver ahorita sobre esto, veamos acá en la pantalla, es más, a la mejor aquí se los puedo yo escribir. Déjenme ver si lo tengo preparado para ello, me parece que, me parece que si. Vean ustedes, osea la única diferencia que tenemos nosotros con respecto a WolframAlpha es que nosotros pusimos un menos aquí y aquí pusimos tres menos x cuadrada, en nuestra expresión. Entonces la diferencia con WolframAlpha es que no puso el menos y si puso x cuadrada menos tres. Pero este menos con este tres menos x cuadrada nuestro, hace el x cuadrada menos tres. Entonces podríamos decir okay, ¿no? . Tanto WolframAlpha como nosotros hemos llegado a la derivada correctamente, ¿okay? . Bien, ¿para qué queríamos esa derivada? Porque esa derivada es la segunda derivada de esta función, esta función que está aquí. Esta es nuestra función ¿okay? . Y en ese función you estábamos observando que es la que tiene todo azul. En esa función estamos viendo que aquí claramente hay un punto de inflexión ¿cierto? Ese se ve muy claro y cuando uno ve la derivada ahí dibujada con rojo, pues si, podríamos decir pues si, porque aquí hay un máximo de la derivada ¿no, cierto? El máximo de la derivada viene acá a ser un punto de inflexión, porque el gráfico cambia de ser creciente a decreciente en la derivada. Y en la función original, ser cóncavo arriba a ser cóncavo abajo ¿okay? Por otro lado cuando sacamos la derivada, la derivada la tenemos aquí en color rojo ¿no?, y esa derivada vean ustedes, como aquí corta, en el uno y corta acá en el ¡ay!, no le atiné allí ¿verdad?, vamos a, a hacer la raya un poquito más para acá del menos uno ¿sí? O sea eso es lo que quiero que ustedes vean, es que aquí no me va a dejar borrar. Entonces vamos a dejarlo así. Entonces tenemos aquí el menos uno, aquí tenemos el uno y entonces esos valores que nos salieron con la derivada igual a cero, nos está diciendo de que aquí en este lugarcito para la función original, la azul, hay un mínimo ¿no? Y aquí para la función azul hay un máximo ¿cierto? La derivada cruzó de positivo a negativo y aquí cruzó de negativo a positivo ¿okay? Pero por otro lado les comentaba ¿no?, algo anda pasando por aquí por esta zonas ¿no?, porque vean como estos gráficos tienen esa tendencia hacia estabilizarse ¿no?, en la horizontal. A estabilizarse en la horizontal. O sea como que esta gráfica, la azul que estoy viendo yo aquí ¿sí?, no va a cruzar el eje, sino que se va a ir así, se estabiliza en la horizontal ¿okay? . Para un lado y para el otro, eh. Nada más que acá sería para el lado negativo. ¿De acuerdo? Ese es el comportamiento que les digo que en las polinomiales no se cumple ¿okay? Aquí se habla de una asíntota horizontal, en el eje de las x. ¿De acuerdo? . Bueno, pero para que se haya hecho el comportamiento, necesariamente la concavidad abajo que llevaba la función, porque tenía un máximo, osea en esta zona de aquí, esa concavidad de abajo tuvo que cambiar a concavidad de arriba. Eso hace que por aquí deba de haber un punto de inflexión. Y bueno, ahora que tenemos nuestra derivada y ese factorcito, se fijan, ese famoso tres menos x cuadrada de acá, podríamos nosotros estar seguros que al igualar la segunda derivada con cero, nos va a quedar que tres menos x cuadrada tiene que ser igual a cero ¿no? O sea que x es igual, x cuadrada es igual a tres, entonces x es igual a más menos raíz de tres. Entonces podemos estar seguros ¿no?, con todo nuestro procedimiento que, en raíz de tres, que ¿cuánto es?, uno punto cinco y algo por ahí, va a tener que haber un punto de inflexión ¿no? . O sea que por aquí, aún y cuando no se ve muy muy claro, tiene que haber un min de la derivada ¿sí?, y por acá también tiene que haber, por donde anda este sería, por aquí, un mínimo de la derivada. Y estos mínimos de la derivada están dando lugar aquí a un punto de inflexión ¿no?, de la gráfica original. Por el otro punto de inflexión estaría más o menos por aquí ¿no? . Un punto de inflexión. Todo mi rayadero, aquí negro, aquí no me deja cambiar el color ¿no?, parece bueno pues, que se pierde de vista ¿no?, a que se iba, pero por otro lado les digo, quien no ha seguido este razonamiento junto conmigo, a la mejor no lo entiende. Pero quien sí, puede decir que esto que estamos haciendo ahorita es una pintura con un significado enorme ¿no? . Hemos hecho uso de la función, de la derivada, de la segunda derivada, para interpretar el comportamiento gráfico de esa curva ¿no¸ de esa curva cuya expresión matemática es x entre x cuadrada más uno. Estamos observando que esa curva ¿no?, entonces si, si ponen sus ojos ¿no?, sobre esta zona de aquí. Esta curva es la azul ¿no? Podríamos hasta describir ¿sí?, su comportamiento. Crece con concavidad abajo, llega a un valor máximo, luego va a decrecer con concavidad abajo, llega a un punto de inflexión y luego va a seguir decreciendo pero con concavidad hacia arriba. Y de, y aparte de eso estamos observando que su comportamiento se estabiliza en la altura cero. Tan es así, que la misma derivada se estabiliza en la altura cero también. O sea la razón de cambio va a ser cero y esta de acá si, seguramente va a llegar también al valor cero. Estoy aplicando a la mejor hay algún conocimiento un poquito extra ¿no?, sobre el comportamiento al infinito de esta curva. Pero creo que ese será un buen tema ¿no?, para que ustedes si lo vean a detalle en su curso de cálculo ¿no? Por ahora nosotros en este discurso que les estamos ofreciendo tan apego con el contexto real de movimiento, lo que queremos es que sean capaces de utilizar la derivada, la segunda derivada, para encontrar de una curva sus puntos importantes. ¿Cuáles son los puntos importantes de una curva? Sus máximos, sus mínimos, sus puntos de inflexión ¿no? ¿Por qué son importantes? Porque a final de cuentas, la curva es una representación de qué, del comportamiento de una magnitud que está cambiando ¿no? Yo creo que en este video pues ha sido suficiente. Ustedes pueden hacer también los gráficos con Graphmática, comprobar todo lo que hemos hecho ahora y este bueno, nos quedaron pendientes una secuencia de, de derivadas también ¿no?, donde introduje los radicales. Creo que es importante que lo hagamos, porque también es una fuente de dificultades, esto del manejo de los exponentes fraccionarios con los radicales. Entonces yo los dejo ahora descansar, tomen aire y en el siguiente video vengamos frescos y listos para seguir derivando.
