Essa semana não tem vÃdeo de introdução não. Vamos direto ao assunto. Você já viu como projetar os ganhos de realimentação de estado para alocar os polos do sistema nas posições desejadas. Se o sistema está na forma canônica controlável, basta realizar N subtrações, subtraindo os coeficientes originais dos coeficientes desejados do polinômio caracterÃstico. Se o sistema não está na forma canônica controlável, você precisa resolver o problema geral e igualar os coeficientes de determinante de sI menos A mais Bk aos coeficientes do polinômio desejado. Mas lembre-se, esse problema pode não ter solução se o sistema não for controlável, mas até agora não nos preocupamos com o valor final ou com o erro regime ou com o ganho baixa frequência ou com a constante de erro do sistema. Isso por que estávamos tratando do problema de regulação e agora vamos tratar do problema de rastreamento de uma entrada degrau. Então, após esse vÃdeo, você será capaz de determinar o fator de ajuste de ganho necessário para obter erro regime nulo para uma entrada degrau. A forma mais simples de abordar o problema de rastreamento é somar sinal proporcional a referência ao sinal de controle. Ou seja, o sinal de controle que era U igual a menos Kx passa a ser U igual a menos Kx mais Nr. Onde o U é o sinal de controle, X é o vetor de estado, K é o vetor de ganhos de realimentação de estado, R é a referência e N é fator de ganho que iremos ajustar. Substituindo o sinal de controle na equação de estado obtemos X ponto é igual a A X menos B K X mais B N R. Colocando X evidência temos X ponto é igual a A menos B K X, mais B N R e a dinâmica do sistema é dada pelos auto valores de A menos B K, como no caso da regulação. Ou seja, uma vez que tenhamos os polos desejados, o projeto dos ganhos de realimentação de estado é exatamente o mesmo, tanto na regulação quanto no rastreamento com ajuste de ganho. Vamos considerar agora que a entrada seja degrau unitário e que tanto a saÃda quanto o estado convirjam para valores constantes. Teremos então, regime permanente, X ponto é igual a A menos B K X R P mais B N igual a zero. Onde X R P é o estado regime permanente e já substituÃmos a referência regime permanente por. Passando menos B N para a direita, chegamos a (A menos B K) X R P igual a menos B N. Vamos considerar agora que A menos B K seja inversÃvel, o que acontecerá desde que nenhum auto valor de A menos B K seja zero e podemos multiplicar pela inversa de A menos B K dos dois lados chegando a X R P igual a menos (A menos B K) a menos B N. E agora substituÃmos X R P na equação de saÃda e temos Y R P que é igual a C X R P é igual a menos C A menos B K menos B N. E para que Y RP seja precisamos ter N igual a menos 1 sobre C (A menos B K) a menos B. Note, como estamos trabalhando apenas com sistema SISO, C (A menos B K) a menos B será uma escalar, ou seja, número real e não uma matriz. E por isso podemos dividir menos por este número. Como veremos no exemplo numérico, normalmente é mais fácil resolver as equações individualmente do que calcular o valor de N por esta fórmula. Seguindo a nossa polÃtica de reciclagem, o sistema no espaço de estados é A igual a zero zero, zero zero zero, menos 200, menos 30. B igual a zero zero e C é igual a 100 zero zero. Vamos reciclar também o polinômio desejado. S ao cubo mais 132 S ao quadrado mais 1540 S mais 12000. E já sabemos que os ganhos da realimentação de estados são 12000, 1340 e 102. Mas agora queremos também erro nulo regime permanente, basta então usarmos a fórmula N igual a menos sobre C (A menos BK) a menos B. E implementarmos controlador U igual a menos K X mais N R com os ganhos projetados temos A menos B K igual a zero zero, zero zero menos 12000 menos 1540 menos 132. E seguindo a fórmula cegamente teremos que calcular a inversa dessa matriz. Mas vamos usar pequeno truque para facilitar nossa vida. Note que a matriz de entrada B só tem elemento diferente de zero, o mesmo acontecendo com a matriz de saÃda C. E lembre-se que podemos escrever a inversa de uma matriz como a matriz de seus cofatores transposta dividida pelo seu determinante. Então, podemos escrever C (A menos B K) a menos B como C (matriz dos cofatores de A menos B K transposta) divido pelo determinante de A menos B K vezes B. No nosso exemplo, o determinante de A menos B K é menos 12000. Vamos escrever a matriz dos cofatores de A menos B K de forma literal com elementos C e J. Transpomos essa matriz literal, multiplicamos a esquerda por C, lembrando que C é igual a 100 zero zero. E multiplicamos o resultado a direita por B, lembrando que B igual a zero zero. Ou seja, C(A menos B K) a menos B é C 3 1 sobre menos 120. E só precisamos calcular dos cofatores da matriz A menos B K que é o cofator da terceira linha e da primeira coluna. Só lembrando, para calcular o cofator, elevamos menos a soma do número da linha com o número da coluna e multiplicamos pelo determinante da submatriz obtida, eliminando a linha e a coluna correspondentes aos Ãndices do cofator. Desse modo, temos que C 3 1 é igual a voltando ao nosso problema temos C (A menos B K) a menos B igual a sobre menos 120 e portanto N igual a 120. E o sinal de controle será dado por menos 12000 X1 menos 1340 X2 menos 102 X3 mais 120 R. Vamos ver agora como chegar a esse mesmo resultado resolvendo as equações individualmente. Partimos de X ponto é igual a (A menos B K) X mais B N R igual a zero. SubstituÃmos nossas matrizes numéricas nesta equação e já explicitamos os estados regime permanente. Usando as duas primeiras equações ou as duas primeiras linhas da igualdade matricial chegamos a X2 R P igual a zero e X3 R P igual a zero. E usando a terceira equação ou a terceira linha já com esses valores de X2 R P e X3 R P concluÃmos que N é igual a 12000 X1 R P. Usamos agora a equação de saÃda com a nossa matriz C e regime permanente. E chegamos a 100 X1 R P igual a e A N igual a 120. Agora você já é capaz de determinar o fator de ajuste de ganho necessário para obter erro regime nulo para uma entrada degrau. No próximo vÃdeo você verá mais exemplo de ajuste de ganho.
