[MUSIC] En este video vamos a presentar y discutir los conceptos de población. Muestra aleatoria de una población y estadÃsticas en el contexto de la estadÃstica inferencial. En términos generales, la estadÃstica inferencial se ocupa de realizar inferencias acerca de las caracterÃsticas de una población. Con base en una muestra aleatoria de dicha población. Las caracterÃsticas de las poblaciones se representan por medio de variables de tipo cuantitativo. La motivación principal radica en que, en la mayorÃa de los casos reales de interés práctico, no es posible conocer el valor de los parámetros. De las distribuciones de probabilidad, de las variables aleatorias asociadas a caracterÃsticas de interés de una población dada. Por ejemplo, no es posible ni observar ni conocer con total precisión. Cuál es el valor de la proporción p de habitantes adultos de Ciudad de México que tienen diabetes. Asà como tampoco es posible conocer el verdadero valor de la media mu del salario anual en dólares de los trabajadores del sector automotriz en Brasil. En general, el valor de los parámetros poblacionales, como la media mu y la varianza sigma cuadrado, entre otros. No son observables de manera directa, asà que tenemos que recurrir a variables y estadÃsticas. Cuyos valores sean observables para poder estimar el valor de dichos parámetros. Dado una población de interés, personas, objetos, entes abstractos, la estadÃstica inferencial se ocupa, entre otros temas. De desarrollar procedimientos estadÃsticos formales para estimar el valor de un parámetro theta. De la distribución de probabilidad F sub x(x; parámetro theta) de una variable aleatoria x. Que representa una caracterÃstica relevante de dicha población con base en una muestra de la población. Se sabe, por ejemplo, que la duración en horas de uso de la baterÃa de un teléfono móvil. Se puede representar de manera apropiada por medio de una variable aleatoria X. Con distribución exponencial de parámetro lambda. La cual, como sabemos, tiene función de densidad de probabilidad fx(X) =lambda por e a la menos lambda X, para X mayor que 0. El valor del parámetro lambda no es directamente observable. Si se trata, por ejemplo, de la población conformada por todos los teléfonos móviles de una marca especÃfica y de una referencia particular. TendrÃamos que tomar una muestra aleatoria representativa de dicha población. Y para cada uno de los elementos de la muestra aleatoria, observar la variable aleatoria X. Definida como la duración en horas de uso de la baterÃa desde el momento en que su carga está completa. Como para cada elemento de la muestra la duración de la baterÃa es una variable aleatoria. Entonces, obtenemos la representación de la muestra como un vector compuesto por variables aleatorias X1, X2 hasta n. Cada una de las cuales representa la duración de la baterÃa para elemento elemento Y. Una vez observada la muestra, obtenemos resultados especÃficos para cada uno de los elementos de la muestra. De la forma (X1, X2, Xn), que son números reales, en este caso, positivos. Utilizando los valores del resultado de la muestra aleatoria, podemos estimar el parámetro lambda. En efecto, como veremos más adelante en este curso, un buen estimador para estimar el parámetro lambda. De una distribución exponencial de parámetro lambda. Está dado por lambda sombrero = 1 sobre X barra. Donde, como sabemos, X barra es la media muestral que está definida como la sumatoria de Xi de, i igual a 1 hasta n. Sobre n, que es el tamaño de la muestra. Conceptualmente, una muestra aleatoria de tamaño n de una población, es un subconjunto de n elementos de la población. Seleccionados de acuerdo con un procedimiento aleatorio que garantice su representatividad. Formalmente, una muestra aleatoria de una población con relación a una variable aleatoria de interés X. Consiste en un conjunto X1, X2, Xn de n variables aleatorias independientes entre sÃ. Que tienen la misma distribución de probabilidad que la variable aleatoria X. Por ejemplo, si una variable aleatoria X tiene una distribución normal de medida mu sub 0 y varianza sigma sub 0 al cuadrado. Cada una de las variables aleatorias que conforman la muestra. Debe tener distribución de probabilidad normal de media mu sub 0 y varianza sigma sub 0 al cuadrado. A continuación, aparece una ilustración que representa de manera esquemática algunos de los conceptos que acabamos de discutir. Como observamos en el gráfico, se parte de una población dada y de una variable aleatoria de interés X. Se lleva a cabo un proceso de muestreo para obtener una muestra aleatoria de la variable aleatoria X. Con base en la muestra aleatoria obtenemos estadÃsticas que se van a utilizar para estimar los valores de los parámetros poblacionales. Como la media mu y la varianza sigma cuadrado, entre otros. [MUSIC] A continuación, vamos a presentar un ejemplo sencillo en el que se ilustran los conceptos de población, variable aleatoria de interés, muestra aleatoria de la población. Resultado de la muestra aleatoria y, finalmente, valor estimado de un parámetro de interés. En este ejemplo vamos a ilustrar cada uno de los conceptos que hasta el momento hemos presentado en el video. La población está conformada por todos los teléfonos móviles de una marca especÃfica y de una referencia particular. La variable aleatoria de interés, X, está definida como duración en horas de uso de la baterÃa de un teléfono móvil. Desde el momento en que su carga está completa. Para este caso, es razonable suponer que esta variable aleatoria X tiene una distribución exponencial de parámetros lambda. La cual, como sabemos, tiene una función de densidad de probabilidad fx(X) igual a lambda por lambda e a la menos lambda X, para X mayor que 0. Lambda mayor que 0, parámetro con valor desconocido. La muestra aleatoria estarÃa conformada por 100 elementos, teléfonos móviles, de la población de interés. Para cada elemento i de la muestra aleatoria, se quiere observar la duración de la baterÃa en horas de uso, que es una variable aleatoria Xi. Dicha muestra se representa por el vector (X1, X2 hasta X100). Partiendo de la muestra aleatoria, ahora se registra el resultado que produjo cada uno de los elementos de la muestra aleatoria de la variable aleatoria X. Para efectos ilustrativos, supongamos que se produjeron los resultados que se presentan en la tabla que aparece a continuación. En la tabla observamos que para cada elemento de la muestra representada por n aparece la duración en horas de uso de la baterÃa de ese elemento. A partir de los valores que ha producido la muestra aleatoria que presentamos en la tabla, podemos estimar el valor del parámetro lambda. En efecto, como you lo presentamos en este video. Un estimador apropiado para el parámetro lambda de una distribución exponencial de parámetro lambda. Es igual a lambda sombrero igual a 1 sobre X barra. En donde X barra, como you sabemos, corresponde a la media muestral. Es decir, la sumatoria de Xi sobre n. En el caso que nos ocupa, X barra, entonces, serÃa igual a 1818.23, que es la sumatoria de los Xi, dividido por n que es igual a 100. Asà que X barra es igual a 18.18. Por tanto, el valor estimado para el parámetro lambda es 1/18.18, que es aproximadamente igual a 0.055. De esta manera podemos, obtener la distribución estimada de la variable aleatoria exponencial que hemos presentado como ejemplo en este caso. En efecto, la función de densidad estimada de esta variable aleatoria estarÃa por Fx (x; parámetro lambda) = 0.55. EstarÃa dada exactamente por 0.055 por e a la -0.055 por X. Esta serÃa la distribución de densidad de probabilidad estimada para la variable aleatoria X que hemos discutido en este ejemplo. Con este ejemplo hemos ilustrado por medio de un caso concreto. Los conceptos de población variable aleatoria de interés, muestra aleatoria de la población, resultado de la muestra aleatoria. Y finalmente, valor estimado de un parámetro de interés de la población. [MUSIC]
